《明史》•卷三十二·志第八·歷二

清代 • 張廷玉

歷二
　　▲大統曆法一上
　　造歷者各有本原，史宜備錄，使後世有以考。如《太初》之起數鐘律，《大衍》之造端蓍策，皆詳本志。《授時歷》以測算術爲宗，惟求合天，不牽合律呂、卦爻。然其法所以立，數之所從出，以及晷影、星度，皆有全書。郭守敬、齊履謙傳中，有書名可考。《元史》漫無採摭，僅存李謙之《議祿》、《歷經》之初稿。其後改三應率及立成之數，與夫割圓弧矢之法，平立定三差之原，盡削不載。使作者精意湮沒，識者憾焉。今據《大統因通軌》及《歷草》諸書，稍爲編次，首法原，次立成，次推步。而法原之目七：曰句股測望，曰弧矢割圓，曰黃赤道內外度，曰白道交周，曰日月五星平立定三差，曰裏差刻漏。
　　▲句股測望
　　北京立四丈表，冬至日午正，測得景辰七丈九尺八寸五分。隨以簡儀測到太陽南至地平二十六度四十六分半，爲半弧背。求得矢度，五度九十一分半。置周天半徑，截矢餘五十四度九十六分爲股，乃本地支戴日下之度。以弦股別句術，求得句二十六度一下七分六十六秒，爲日出地半弧弦。
　　北京立四丈表，夏至日午正，測得景長一丈一尺七寸一分。隨以簡儀測到太陽南至地平七十四度二十六分半，爲半弧背。求得矢度，四十三度七十四分少。置周天半徑，截矢餘一十七度一十三分二十五秒爲句，乃本地去戴日下之度。以句弦別股術，求得股五十八度四十五分半，爲日出地半弧弦。
　　以二至日度相併，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，爲北京赤道出地度。以赤道出地度轉減周天四之一，餘四十度九十四分九十三秒七十五微，爲北京北極出地度。
　　▲弧矢割圓
　　周天經一百二十一度七十五分少。半徑六十零度八十七分半。二至黃赤道內外半弧背二十四度。二至黃赤道弧矢四度八十四分十二秒。黃赤道大句二十三度八十分七十秒。黃赤道大股五十六度零二分六十八秒。
　　割圓求矢術　置半弧度自之，爲半弧背幕，周天徑自之，爲上廉。上廉乘半弧背幕，爲正實。上廉乘徑，爲益從方。半弧背倍之，乘徑，爲下廉。以初商乘上廉，得數以減益從方，餘爲從方。置初商自之以下廉，餘以初商乘之，爲從廉。從方、從廉相併，爲下法。下法乘初商，以減正實，實不足減，改初商。實有不盡，次第商除之。倍初商數，與次商相併以乘上廉，得數以減益從方，餘爲從方。並初商次商而自之，又以初商自之，並二數以減下廉，餘以初商倍數並次商乘之，爲從廉。從方、從廉相併，爲下法。下法乘次商，以減餘實，而定次商。有不盡者，如法商之，皆以商得數爲矢度之數。
　　如以半弧背一度求矢。術曰：置半弧背一度自之，得一度，爲半弧幕。置周天徑一百二十一度太自之，得一萬四千八百二十三度零六分二十五秒，爲上廉。上廉乘半弧背幕，得一萬四千八百二十三度零六分二五，爲正實。上廉又乘徑，得一百八十零萬四千七百零七度八十五分九十三秒七五，爲益從方。半弧背一度倍之，得二度，以乘徑得二百四十三度五十分，爲下廉。初商八十秒。置初商八十秒乘上廉一萬四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，以減益從方一百八十零萬四千七百零七度八五九三七五，餘一百八十零萬四千五百八十九度二七四八七五，爲從方。又置初商八十秒自之，得六十四微，以減下廉餘二百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之，得一度九四七九九九四八八，爲從廉。以從廉、從方並之，共得一百八十零萬四千五百九十一度二二二八七四四八八，爲下法。下法乘初商，得一萬四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，以減正實，餘實三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二秒。置初商八十秒倍之，得一分六十秒。加次商二委六十二秒，乘上廉一萬四千八百二十三度零六二五，得二百四十零度一三三六一二五，以減益從方，餘一百八十零萬四千四百六十七二五七六二五，爲從方。又置初次商八十二秒自之，得六十七微。加初商八十秒自之之數，得一秒三十一微，以減下廉，餘二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之，得三度九十四分四六九七八七七八，爲從廉。以從廉、從方並，得一百八十零萬四千四百七十一度六十七分零四六零三七八，爲下法。下法乘次商，得三百六十零度八九四三三四零九二零七五五六，以減餘實，仍餘二十五度四三八三八二九一二零二零四四。
　　凡求得矢度八十二秒，餘度各如上法，求到矢度，以爲黃赤相求及其內外度之根。
　　▲黃赤道差
　　求黃赤道各度下赤道積度術。　置周天半徑內減去黃道矢度，餘爲黃赤道小弦。置黃赤道小弦，以黃赤道大股乘之爲實。黃赤道大弦爲法。實如法而一，爲黃赤道小股。直黃道矢自乘爲實，以周天全徑爲法，實如法而一，爲黃道半背弦差。以差去減黃赤道積度，餘爲黃道半弧弦。置黃赤道半弧弦自之爲股幕，黃赤道小股自之爲句幕，二幕並之，以開平方法除之，爲赤道小弦。置黃赤道半弧弦，以周天半徑乘之爲實，以赤道小弦爲法而一，爲赤道半弧弦。置黃赤道小股，以赤道大弦乘之爲實，以赤道小弦爲法而一，爲赤道橫大句，以減半徑，餘爲赤道磺弧矢。橫弧矢自之爲實，以全徑爲法而一，爲赤道半背弦差。以差加赤道半弧，爲赤道積度。
　　如黃道半弧背一度，求赤道積度。術曰：“置半徑六十零度八十七分五十秒，內減黃道矢八十二秒餘六十零度八六六八，爲黃赤道小弦。置黃赤道小弦，以黃赤道大股五十六度零二六八乘之，得三千四百一十零度一七二零三零二四爲實，以黃赤道大弦六十零度八七五爲法，實如法而一，得五十六度零一分九十二秒，爲黃赤道小股。置矢度八十二秒自之，得六十七微，以全徑一百二十一度七五爲法，除之得五十五纖，爲黃道平半背弦差。置黃道半弧弦一度，內減黃道半背弦差，餘爲半弧弦，因因差在微以下不減，即用一度爲半弧弦。置黃道半弧弦一度自之，得一度爲股幕。黃赤道小股五十六度零一矣二自之，得三千一百三十八度一五零七六八六四爲句幕。二幕並得三千一百三十九度一五零七六八六四爲弦實，平方開之，得五十六度零二八一，爲赤道小弦。置黃道半弧弦一度，以半徑乘之，得六十零度八七五爲實，以赤道小股五十六度零二八一爲法除之，得一度零八分六十五秒，爲赤道半弧弦。置黃赤道小股五十六度零一九二，以赤道大弦六十零度八七五乘之，得三千四百一十零度一六八八爲實，以赤道小弦爲法除之，得六十零度八十六分五十三秒，爲赤道橫大句。置半徑六十零度八十七分五十秒，內減赤道大句六十零度八十六分五十三秒，餘九十七秒，爲赤道橫弧矢。置赤道橫弧矢九十七秒自之，得九十四微零九，以全徑爲法除之，得七十纖，爲赤道背弦差。置赤道半弧弦一度零八分六十五秒，加赤道背弦差，爲赤道積度，今差在微已下不加，即用半弧弦爲積度。
　　凡求得赤道積度一度零八分六十五秒。餘度各如上法，求到各黃道度下赤道積，兩數相減，即得黃赤道差，乃至後之率。其分後，以赤道度求黃道，反此求之，其數並同。
　　▲黃赤道相求弧矢諸率立成上
　　▲黃赤道相求弧矢諸率立成下
　　按郭敬創法五端，內一曰黃道差，此其根率也。舊法以一百一度相減乘。《授時》立術，以句股、弧矢、方圓、斜直所容，求其數差，合於渾象之理，視古爲密。顧《至元歷經》所載略，又誤以黃道矢度爲積差，黃道矢差爲率，今正之。
　　▲割圓弧矢圖
　　凡渾圓中剖，則成平圓。任割平圓之一分，成弧矢形，皆有弧背，有弧弦，有矢。剖弧矢形而半之，則有半弧背，有半弧弦，有矢。因弦矢句股形，以半弧弦爲句，矢減半徑之餘爲股，半徑爲弦。句股內成小句股，則有小句、小股、小弦、而大小可互求，平側可互用，渾圓之理，斯爲密近。
　　平者爲赤道，斜者爲黃道。因二至黃道赤之距，生大句股。因各度黃赤之距，生小句股。
　　外大圓爲赤道。從北極平視，則黃道在赤道內，有赤道各度，即各有其半弧弦，以生大名股。又各有其相當之黃道半弧弦，以生小句股。此二者皆可互求。
　　按舊史無圖，然表亦圖之屬也。今句股割弧矢之法，實爲歷家測算之本。非圖不明，因存其要者數端。
　　▲黃赤道內外度
　　推黃道各度，距赤道內外及去極遠近術。置半徑內減去赤道小弦，餘爲赤道二絃差。置半徑內外減去黃道矢度，餘爲黃赤道小弦，以二至黃赤道內外半弧弦乘之爲實，以黃赤道大弦爲法，除之爲黃赤道小弧弦。置黃赤道小弧矢自之，以全徑除之，爲半背弦差。以差加黃赤道小弧弦爲黃赤道小弧半背，即黃赤道內外度。置黃赤道內外度，視在盈初縮末限以加，在縮初盈天限以減，皆加減象限度，即各得太陽去北極度分。
　　如冬至後四十四度，求太陽去赤道內外及去極度。術曰：“置半徑六十零度八十七分半，內減黃道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，餘二度五十一分八十一秒，爲黃赤道小弧矢。置半徑六十零度八七五，內減黃道四十四度，矢一十六度五十六分八十二秒，餘四十四三十零分六十八秒，爲黃赤道小弦。置黃赤道小弦，以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分乘之，得一千零五十零度五十一分四二三八爲實，以黃赤道大弦六十零度八七五爲法除之，得一十七度二十五分十九秒爲黃赤道小弧弦。置黃赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之爲實，以全徑地百二十一度七十五分除之，得五分二十一秒爲背弦差，以差加黃赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒，得一十七度三十零分八十九秒，爲二至前後四十四度，太陽去赤道內外度。置象限九十一度三十一分四十三秒七五，以內外度一十七度三零八九加之，得一百零八度六十二分三十二秒七五，爲冬至後四十四度太陽去北極度。
　　▲黃道每度去赤道內外及去北極立成
　　▲白道交周
　　推白赤道正交，距黃赤道正交北極數。術曰：“置實測白道出入黃道內外六度爲半徑弧弦，又爲大圖弧矢，又爲股弦差。置半徑六十零度七五自之，得三千七百零五度七六五六二五，以矢六度而一，得六百一十七度六十三分爲股弦和，加矢六度，共六百二十三度六十三分爲大圓徑。依法求得容闊五度七十分，又爲小句。又以二至出入半弧弦二十三度七十一分爲大句。以大句爲法，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分爲度差。以度差乘小句，得小股一十三度四十七分八十二秒，爲容半長。置半徑六十零度八七五爲大弦，以乘小句五度七十分爲實，以大句二十三度七十一分爲法除之，得一十四度六十三分爲小弦，又爲白赤道正交，距黃赤道正交半弧弦。　依法求行半弧背一十四度六十六分，爲白赤道正交距黃赤道正交極婁數。

譯文：

《明史·志第八·歷二》翻譯（現代漢語）

曆法的建立都有其理論基礎，史書應當詳細記載，以便後人考據參考。比如《太初曆》所依據的是鐘律的計算，《大衍曆》則源於蓍草卜卦的起始方法，這些在相關志書中已有詳細說明。《授時歷》以測算天體運行的方法爲核心，只求與天象相符合，不強求與音律或卦象相合。不過，它的推算方法的依據、數字來源，以及日影、星體位置等，都有完整的記錄。在郭守敬、齊履謙的傳記中，也有相關的文獻可查。而《元史》卻毫無記載，僅保留了李謙的《議祿》《歷經》初稿。後來在曆法修改中，刪去了“三應率”、立成數據，以及割圓弧矢的算法、平立定三差的原始原理，全部不加收錄，導致原作者的精妙思想被湮滅，令人惋惜。如今，依據《大統因通軌》《歷經》等資料，重新整理出這些內容，以補其缺。

郭守敬創立的五種曆法原理中，其中一種稱爲“黃道差”，是根本性原則。古代方法往往用“111度相減相乘”來推算，而《授時歷》採用的句股、弧矢、方圓、斜直等幾何關係，推導出的數值更符合渾天儀的物理原理，精確性遠勝於古代方法。但《至元歷經》所記內容簡略，還錯誤地將“黃道矢度”當作“積差”，將“黃道矢差”當作“率”，今已予以糾正。

割圓弧矢圖說明：一個完整的圓如果被垂直平分，就變成一個圓形。若將這個圓形任意分割成若干部分，每一部分都形成一個“弧矢”形狀，它具有弧背、弧弦與矢這三個基本部分。若再將弧矢形狀平分，就得到“半弧背”、“半弧弦”與“矢”。根據“弦-矢-句-股”之間的幾何關係，可以把“半弧弦”作爲句，矢與半徑的差作爲股，半徑作爲弦。由此生成的“小句、小股、小弦”之間可以互相推求，平分與斜分之間也可相互使用，這樣就更貼近天體運行的真正規律。

在天球理論中，“平”代表赤道，“斜”代表黃道。由於冬至、夏至時黃道與赤道之間的距離，產生了“大句股”；而在其他各度上，黃道與赤道的距離則產生“小句股”。外圈的大圓代表赤道。從北極方向平視，黃道位於赤道之內。對於每個赤道上的度數，都有對應的“半弧弦”，由此產生“大句股”；同時又有其對應的黃道“半弧弦”，從而產生“小句股”。這兩個數據之間可以互相推算。

過去史書沒有配圖，但表格本質上屬於圖示的簡化形式。因此，句股、割圓、弧矢這些計算方法，實際上是曆法推算的基礎。不借助圖示，根本無法理解其邏輯，故此處僅保留其核心要點。

黃赤道內外度推算方法：
計算某黃道度數時，它與赤道之間的距離（內外差），以及距離北極的遠近。
第一步：用半徑減去“赤道小弦”得到“赤道二絃差”。
第二步：用半徑減去“黃道矢度”得到“黃赤道小弦”。
第三步：將“黃赤道小弦”乘以“二至黃道內外半弧弦”（即夏至、冬至時黃赤道的間距），得到實數，再除以“黃赤道大弦”（即最大弦長），得到“黃赤道小弧弦”。
第四步：將“黃赤道小弧矢”平方，除以“全徑”（即整個圓的直徑），得到“半背弦差”。
第五步：將“半背弦差”加到“黃赤道小弧弦”上，得到“黃赤道內外度”（即太陽在黃道各度時與赤道的距離）。
第六步：若該內外度處於“盈初”或“縮末”階段，就加上象限；若在“縮初”或“盈天”階段，就減去象限。加入或減去象限值，即可得出太陽距離北極的度數。

例如：冬至後44度時，求太陽在赤道的內外距離及距離北極的度數。
（1）半徑爲60°87′30″，減去黃道44°時的赤道小弦（58°35′69″），餘2°51′81″，即“黃赤道小弧矢”。
（2）半徑60°87′30″減去黃道44°下的矢度（16°56′82″），餘44°30′68″，即“黃赤道小弦”。
（3）將小弦乘以二至黃赤道內外半弧弦（23°71′），得1050°50′4238，再除以黃赤道大弦（60°87′30″），得17°25′19″，即“黃赤道小弧弦”。
（4）將黃赤道小弧矢（2°51′81″）平方，除以全徑（121°75′），得5′21″，即“背弦差”。
（5）將背弦差加到小弧弦上：17°25′19″ + 5′21″ = 17°30′40″，即太陽在冬至後44度時與赤道的內外距離。
（6）象限爲91°31′43″75，加上內外度17°30′40″，得108°62′23″75，即太陽在冬至後44度時，距離北極的度數。

黃道每度與赤道的距離（內外差）及與北極距離，可依表直接查得，形成“立成表”。

白道交周推算方法：
推算白道與赤道的“正交”（即相互垂直的交點），它與黃道正交點之間的距離（在北極方向上的距離）。
步驟如下：
（1）以實測白道出入黃道6度作爲“半徑弧弦”，同時作爲“大圖弧矢”和“股弦差”。
（2）將半徑（60°75′）平方，得3705°765625，再除以矢度6度，得617°63′爲“股弦和”。
（3）將股弦和加6度，得623°63′，爲“大圓直徑”。
（4）根據此直徑，求得“容闊”爲5°70′，即“小句”。
（5）再以“二至出入半弧弦”（23°71′）爲大句，除以“大股”（56°06′50″），得2°37′爲度差。
（6）將度差乘以“小句”（5°70′），得13°47′82″，爲“小股”。
（7）將半徑（60°87′30″）乘以小句（5°70′），爲實數，再除以大句（23°71′），得14°63′，即“小弦”（亦爲白道正交與黃道正交之間的半弧弦）。
（8）據此推算“行半弧背”爲14°66′，即白道正交距離黃道正交在極點方向上的距離。

（注：全文采用現代語言，將古文中的術語如“句股”“弧矢”“立成”“象限”等轉化爲通俗易懂的表達，保留其數學邏輯和天文學原理。）