历二
▲大统历法一上
造历者各有本原，史宜备录，使后世有以考。如《太初》之起数钟律，《大衍》之造端蓍策，皆详本志。《授时历》以测算术为宗，惟求合天，不牵合律吕、卦爻。然其法所以立，数之所从出，以及晷影、星度，皆有全书。郭守敬、齐履谦传中，有书名可考。《元史》漫无采摭，仅存李谦之《议禄》、《历经》之初稿。其后改三应率及立成之数，与夫割圆弧矢之法，平立定三差之原，尽削不载。使作者精意湮没，识者憾焉。今据《大统因通轨》及《历草》诸书，稍为编次，首法原，次立成，次推步。而法原之目七：曰句股测望，曰弧矢割圆，曰黄赤道内外度，曰白道交周，曰日月五星平立定三差，曰里差刻漏。
▲句股测望
北京立四丈表，冬至日午正，测得景辰七丈九尺八寸五分。随以简仪测到太阳南至地平二十六度四十六分半，为半弧背。求得矢度，五度九十一分半。置周天半径，截矢余五十四度九十六分为股，乃本地支戴日下之度。以弦股别句术，求得句二十六度一下七分六十六秒，为日出地半弧弦。
北京立四丈表，夏至日午正，测得景长一丈一尺七寸一分。随以简仪测到太阳南至地平七十四度二十六分半，为半弧背。求得矢度，四十三度七十四分少。置周天半径，截矢余一十七度一十三分二十五秒为句，乃本地去戴日下之度。以句弦别股术，求得股五十八度四十五分半，为日出地半弧弦。
以二至日度相并，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，为北京赤道出地度。以赤道出地度转减周天四之一，余四十度九十四分九十三秒七十五微，为北京北极出地度。
▲弧矢割圆
周天经一百二十一度七十五分少。半径六十零度八十七分半。二至黄赤道内外半弧背二十四度。二至黄赤道弧矢四度八十四分十二秒。黄赤道大句二十三度八十分七十秒。黄赤道大股五十六度零二分六十八秒。
割圆求矢术 置半弧度自之，为半弧背幕，周天径自之，为上廉。上廉乘半弧背幕，为正实。上廉乘径，为益从方。半弧背倍之，乘径，为下廉。以初商乘上廉，得数以减益从方，余为从方。置初商自之以下廉，余以初商乘之，为从廉。从方、从廉相并，为下法。下法乘初商，以减正实，实不足减，改初商。实有不尽，次第商除之。倍初商数，与次商相并以乘上廉，得数以减益从方，余为从方。并初商次商而自之，又以初商自之，并二数以减下廉，余以初商倍数并次商乘之，为从廉。从方、从廉相并，为下法。下法乘次商，以减余实，而定次商。有不尽者，如法商之，皆以商得数为矢度之数。
如以半弧背一度求矢。术曰：置半弧背一度自之，得一度，为半弧幕。置周天径一百二十一度太自之，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，为上廉。上廉乘半弧背幕，得一万四千八百二十三度零六分二五，为正实。上廉又乘径，得一百八十零万四千七百零七度八十五分九十三秒七五，为益从方。半弧背一度倍之，得二度，以乘径得二百四十三度五十分，为下廉。初商八十秒。置初商八十秒乘上廉一万四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，以减益从方一百八十零万四千七百零七度八五九三七五，余一百八十零万四千五百八十九度二七四八七五，为从方。又置初商八十秒自之，得六十四微，以减下廉余二百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之，得一度九四七九九九四八八，为从廉。以从廉、从方并之，共得一百八十零万四千五百九十一度二二二八七四四八八，为下法。下法乘初商，得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，以减正实，余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二秒。置初商八十秒倍之，得一分六十秒。加次商二委六十二秒，乘上廉一万四千八百二十三度零六二五，得二百四十零度一三三六一二五，以减益从方，余一百八十零万四千四百六十七二五七六二五，为从方。又置初次商八十二秒自之，得六十七微。加初商八十秒自之之数，得一秒三十一微，以减下廉，余二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之，得三度九十四分四六九七八七七八，为从廉。以从廉、从方并，得一百八十零万四千四百七十一度六十七分零四六零三七八，为下法。下法乘次商，得三百六十零度八九四三三四零九二零七五五六，以减余实，仍余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。
凡求得矢度八十二秒，余度各如上法，求到矢度，以为黄赤相求及其内外度之根。
▲黄赤道差
求黄赤道各度下赤道积度术。 置周天半径内减去黄道矢度，余为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以黄赤道大股乘之为实。黄赤道大弦为法。实如法而一，为黄赤道小股。直黄道矢自乘为实，以周天全径为法，实如法而一，为黄道半背弦差。以差去减黄赤道积度，余为黄道半弧弦。置黄赤道半弧弦自之为股幕，黄赤道小股自之为句幕，二幕并之，以开平方法除之，为赤道小弦。置黄赤道半弧弦，以周天半径乘之为实，以赤道小弦为法而一，为赤道半弧弦。置黄赤道小股，以赤道大弦乘之为实，以赤道小弦为法而一，为赤道横大句，以减半径，余为赤道磺弧矢。横弧矢自之为实，以全径为法而一，为赤道半背弦差。以差加赤道半弧，为赤道积度。
如黄道半弧背一度，求赤道积度。术曰：“置半径六十零度八十七分五十秒，内减黄道矢八十二秒余六十零度八六六八，为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以黄赤道大股五十六度零二六八乘之，得三千四百一十零度一七二零三零二四为实，以黄赤道大弦六十零度八七五为法，实如法而一，得五十六度零一分九十二秒，为黄赤道小股。置矢度八十二秒自之，得六十七微，以全径一百二十一度七五为法，除之得五十五纤，为黄道平半背弦差。置黄道半弧弦一度，内减黄道半背弦差，余为半弧弦，因因差在微以下不减，即用一度为半弧弦。置黄道半弧弦一度自之，得一度为股幕。黄赤道小股五十六度零一矣二自之，得三千一百三十八度一五零七六八六四为句幕。二幕并得三千一百三十九度一五零七六八六四为弦实，平方开之，得五十六度零二八一，为赤道小弦。置黄道半弧弦一度，以半径乘之，得六十零度八七五为实，以赤道小股五十六度零二八一为法除之，得一度零八分六十五秒，为赤道半弧弦。置黄赤道小股五十六度零一九二，以赤道大弦六十零度八七五乘之，得三千四百一十零度一六八八为实，以赤道小弦为法除之，得六十零度八十六分五十三秒，为赤道横大句。置半径六十零度八十七分五十秒，内减赤道大句六十零度八十六分五十三秒，余九十七秒，为赤道横弧矢。置赤道横弧矢九十七秒自之，得九十四微零九，以全径为法除之，得七十纤，为赤道背弦差。置赤道半弧弦一度零八分六十五秒，加赤道背弦差，为赤道积度，今差在微已下不加，即用半弧弦为积度。
凡求得赤道积度一度零八分六十五秒。余度各如上法，求到各黄道度下赤道积，两数相减，即得黄赤道差，乃至后之率。其分后，以赤道度求黄道，反此求之，其数并同。
▲黄赤道相求弧矢诸率立成上
▲黄赤道相求弧矢诸率立成下
按郭敬创法五端，内一曰黄道差，此其根率也。旧法以一百一度相减乘。《授时》立术，以句股、弧矢、方圆、斜直所容，求其数差，合於浑象之理，视古为密。顾《至元历经》所载略，又误以黄道矢度为积差，黄道矢差为率，今正之。
▲割圆弧矢图
凡浑圆中剖，则成平圆。任割平圆之一分，成弧矢形，皆有弧背，有弧弦，有矢。剖弧矢形而半之，则有半弧背，有半弧弦，有矢。因弦矢句股形，以半弧弦为句，矢减半径之余为股，半径为弦。句股内成小句股，则有小句、小股、小弦、而大小可互求，平侧可互用，浑圆之理，斯为密近。
平者为赤道，斜者为黄道。因二至黄道赤之距，生大句股。因各度黄赤之距，生小句股。
外大圆为赤道。从北极平视，则黄道在赤道内，有赤道各度，即各有其半弧弦，以生大名股。又各有其相当之黄道半弧弦，以生小句股。此二者皆可互求。
按旧史无图，然表亦图之属也。今句股割弧矢之法，实为历家测算之本。非图不明，因存其要者数端。
▲黄赤道内外度
推黄道各度，距赤道内外及去极远近术。置半径内减去赤道小弦，余为赤道二弦差。置半径内外减去黄道矢度，余为黄赤道小弦，以二至黄赤道内外半弧弦乘之为实，以黄赤道大弦为法，除之为黄赤道小弧弦。置黄赤道小弧矢自之，以全径除之，为半背弦差。以差加黄赤道小弧弦为黄赤道小弧半背，即黄赤道内外度。置黄赤道内外度，视在盈初缩末限以加，在缩初盈天限以减，皆加减象限度，即各得太阳去北极度分。
如冬至后四十四度，求太阳去赤道内外及去极度。术曰：“置半径六十零度八十七分半，内减黄道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，余二度五十一分八十一秒，为黄赤道小弧矢。置半径六十零度八七五，内减黄道四十四度，矢一十六度五十六分八十二秒，余四十四三十零分六十八秒，为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分乘之，得一千零五十零度五十一分四二三八为实，以黄赤道大弦六十零度八七五为法除之，得一十七度二十五分十九秒为黄赤道小弧弦。置黄赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之为实，以全径地百二十一度七十五分除之，得五分二十一秒为背弦差，以差加黄赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒，得一十七度三十零分八十九秒，为二至前后四十四度，太阳去赤道内外度。置象限九十一度三十一分四十三秒七五，以内外度一十七度三零八九加之，得一百零八度六十二分三十二秒七五，为冬至后四十四度太阳去北极度。
▲黄道每度去赤道内外及去北极立成
▲白道交周
推白赤道正交，距黄赤道正交北极数。术曰：“置实测白道出入黄道内外六度为半径弧弦，又为大图弧矢，又为股弦差。置半径六十零度七五自之，得三千七百零五度七六五六二五，以矢六度而一，得六百一十七度六十三分为股弦和，加矢六度，共六百二十三度六十三分为大圆径。依法求得容阔五度七十分，又为小句。又以二至出入半弧弦二十三度七十一分为大句。以大句为法，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分为度差。以度差乘小句，得小股一十三度四十七分八十二秒，为容半长。置半径六十零度八七五为大弦，以乘小句五度七十分为实，以大句二十三度七十一分为法除之，得一十四度六十三分为小弦，又为白赤道正交，距黄赤道正交半弧弦。 依法求行半弧背一十四度六十六分，为白赤道正交距黄赤道正交极娄数。
《明史》•卷三十二·志第八·历二
译文：
《明史·志第八·历二》翻译（现代汉语）
历法的建立都有其理论基础，史书应当详细记载，以便后人考据参考。比如《太初历》所依据的是钟律的计算，《大衍历》则源于蓍草卜卦的起始方法，这些在相关志书中已有详细说明。《授时历》以测算天体运行的方法为核心，只求与天象相符合，不强求与音律或卦象相合。不过，它的推算方法的依据、数字来源，以及日影、星体位置等，都有完整的记录。在郭守敬、齐履谦的传记中，也有相关的文献可查。而《元史》却毫无记载，仅保留了李谦的《议禄》《历经》初稿。后来在历法修改中，删去了“三应率”、立成数据，以及割圆弧矢的算法、平立定三差的原始原理，全部不加收录，导致原作者的精妙思想被湮灭，令人惋惜。如今，依据《大统因通轨》《历经》等资料，重新整理出这些内容，以补其缺。
郭守敬创立的五种历法原理中，其中一种称为“黄道差”，是根本性原则。古代方法往往用“111度相减相乘”来推算，而《授时历》采用的句股、弧矢、方圆、斜直等几何关系，推导出的数值更符合浑天仪的物理原理，精确性远胜于古代方法。但《至元历经》所记内容简略，还错误地将“黄道矢度”当作“积差”，将“黄道矢差”当作“率”，今已予以纠正。
割圆弧矢图说明：一个完整的圆如果被垂直平分，就变成一个圆形。若将这个圆形任意分割成若干部分，每一部分都形成一个“弧矢”形状，它具有弧背、弧弦与矢这三个基本部分。若再将弧矢形状平分，就得到“半弧背”、“半弧弦”与“矢”。根据“弦-矢-句-股”之间的几何关系，可以把“半弧弦”作为句，矢与半径的差作为股，半径作为弦。由此生成的“小句、小股、小弦”之间可以互相推求，平分与斜分之间也可相互使用，这样就更贴近天体运行的真正规律。
在天球理论中，“平”代表赤道，“斜”代表黄道。由于冬至、夏至时黄道与赤道之间的距离，产生了“大句股”；而在其他各度上，黄道与赤道的距离则产生“小句股”。外圈的大圆代表赤道。从北极方向平视，黄道位于赤道之内。对于每个赤道上的度数，都有对应的“半弧弦”，由此产生“大句股”；同时又有其对应的黄道“半弧弦”，从而产生“小句股”。这两个数据之间可以互相推算。
过去史书没有配图，但表格本质上属于图示的简化形式。因此，句股、割圆、弧矢这些计算方法，实际上是历法推算的基础。不借助图示，根本无法理解其逻辑，故此处仅保留其核心要点。
黄赤道内外度推算方法：
计算某黄道度数时，它与赤道之间的距离（内外差），以及距离北极的远近。
第一步：用半径减去“赤道小弦”得到“赤道二弦差”。
第二步：用半径减去“黄道矢度”得到“黄赤道小弦”。
第三步：将“黄赤道小弦”乘以“二至黄道内外半弧弦”（即夏至、冬至时黄赤道的间距），得到实数，再除以“黄赤道大弦”（即最大弦长），得到“黄赤道小弧弦”。
第四步：将“黄赤道小弧矢”平方，除以“全径”（即整个圆的直径），得到“半背弦差”。
第五步：将“半背弦差”加到“黄赤道小弧弦”上，得到“黄赤道内外度”（即太阳在黄道各度时与赤道的距离）。
第六步：若该内外度处于“盈初”或“缩末”阶段，就加上象限；若在“缩初”或“盈天”阶段，就减去象限。加入或减去象限值，即可得出太阳距离北极的度数。
例如：冬至后44度时，求太阳在赤道的内外距离及距离北极的度数。
（1）半径为60°87′30″，减去黄道44°时的赤道小弦（58°35′69″），余2°51′81″，即“黄赤道小弧矢”。
（2）半径60°87′30″减去黄道44°下的矢度（16°56′82″），余44°30′68″，即“黄赤道小弦”。
（3）将小弦乘以二至黄赤道内外半弧弦（23°71′），得1050°50′4238，再除以黄赤道大弦（60°87′30″），得17°25′19″，即“黄赤道小弧弦”。
（4）将黄赤道小弧矢（2°51′81″）平方，除以全径（121°75′），得5′21″，即“背弦差”。
（5）将背弦差加到小弧弦上：17°25′19″ + 5′21″ = 17°30′40″，即太阳在冬至后44度时与赤道的内外距离。
（6）象限为91°31′43″75，加上内外度17°30′40″，得108°62′23″75，即太阳在冬至后44度时，距离北极的度数。
黄道每度与赤道的距离（内外差）及与北极距离，可依表直接查得，形成“立成表”。
白道交周推算方法：
推算白道与赤道的“正交”（即相互垂直的交点），它与黄道正交点之间的距离（在北极方向上的距离）。
步骤如下：
（1）以实测白道出入黄道6度作为“半径弧弦”，同时作为“大图弧矢”和“股弦差”。
（2）将半径（60°75′）平方，得3705°765625，再除以矢度6度，得617°63′为“股弦和”。
（3）将股弦和加6度，得623°63′，为“大圆直径”。
（4）根据此直径，求得“容阔”为5°70′，即“小句”。
（5）再以“二至出入半弧弦”（23°71′）为大句，除以“大股”（56°06′50″），得2°37′为度差。
（6）将度差乘以“小句”（5°70′），得13°47′82″，为“小股”。
（7）将半径（60°87′30″）乘以小句（5°70′），为实数，再除以大句（23°71′），得14°63′，即“小弦”（亦为白道正交与黄道正交之间的半弧弦）。
（8）据此推算“行半弧背”为14°66′，即白道正交距离黄道正交在极点方向上的距离。
（注：全文采用现代语言，将古文中的术语如“句股”“弧矢”“立成”“象限”等转化为通俗易懂的表达，保留其数学逻辑和天文学原理。）
纳兰青云
