《元史》•卷五十五·志第七·歷四

清代 • 蔡東藩

歷四
　　授時歷經下
　　步中星第五
　　大都北極，出地四十度太強。
　　冬至，去極一百一十五度二十一分七十三秒。
　　夏至，去極六十七度四十一分一十三秒。
　　冬至晝，夏至夜，三千八百一十五分九十二秒。
　　夏至晝，冬至夜，六千一百八十四分八秒。
　　昏明，二百五十分。
　　黃道出入赤道內外去極度及半晝夜分
　　求每日黃道出入赤道內外去極度
　　置所求日晨前夜半黃道積度，滿半歲周，去之，在象限已下，爲初限；已上，復減半歲周，餘爲入末限；滿積度，去之，餘以其段內外差乘之，百約之，所得，用減內外度，爲出入赤道內外度；內減外加象限，即所求去極度及分秒。
　　求每日半晝夜及日出入晨昏分
　　置所求入初末限，滿積度，去之，餘以晝夜差乘之，百約之，所得，加減其段半晝夜分，爲所求日半晝夜分；）

譯文：

大都（北京）的北極星，高出地平面40度多一些。
冬至時，北極星與太陽的位置相差115度21分73秒；夏至時，相差67度41分13秒。
冬至時的白天時間，加上夏至時的夜晚時間，總共是3815分92秒；夏至時的白天時間，加上冬至時的夜晚時間，總共是6184分8秒。
從黃昏到黎明的時間（即晝夜交替的時間）是250分。

計算每天黃道（太陽運行的路徑）在赤道（地球赤道平面）上下偏離的度數和分秒：
首先，取所求日期早晨前午夜時刻黃道的累計度數，如果超過半個歲周（即180度），就減去這個值；若結果在90度以下，稱爲“初限”；若超過90度，就再減去半個歲周，剩下的部分稱爲“入末限”；然後用累計度數減去這個值，餘數乘以該時間段內黃道與赤道間差值，再除以100，得到的結果用來減去或加上赤道內外的度數，即可得出黃道在赤道上下偏離的度數及分秒；若結果在赤道內則減去象限（90度），若在赤道外則加上象限，就是所求的偏離程度及其分秒。

計算每天日出日落時間（即半晝夜時間）及日出日入的晨昏時刻（即從日出到日落的時長）：
把所求日期的“初限”或“末限”數值，從累計度數中減去，餘數乘以該時間段的晝夜長短差值，再除以100，得到的數值加到或減去該段的“半晝夜分”上，即可得到所求日期的半晝夜時間（即從日出到中午或從中午到日落的時間）。