《元史》•卷五十五·志第七·历四

清代 • 蔡东藩

历四
　　授时历经下
　　步中星第五
　　大都北极，出地四十度太强。
　　冬至，去极一百一十五度二十一分七十三秒。
　　夏至，去极六十七度四十一分一十三秒。
　　冬至昼，夏至夜，三千八百一十五分九十二秒。
　　夏至昼，冬至夜，六千一百八十四分八秒。
　　昏明，二百五十分。
　　黄道出入赤道内外去极度及半昼夜分
　　求每日黄道出入赤道内外去极度
　　置所求日晨前夜半黄道积度，满半岁周，去之，在象限已下，为初限；已上，复减半岁周，余为入末限；满积度，去之，余以其段内外差乘之，百约之，所得，用减内外度，为出入赤道内外度；内减外加象限，即所求去极度及分秒。
　　求每日半昼夜及日出入晨昏分
　　置所求入初末限，满积度，去之，余以昼夜差乘之，百约之，所得，加减其段半昼夜分，为所求日半昼夜分；）

译文：

大都（北京）的北极星，高出地平面40度多一些。
冬至时，北极星与太阳的位置相差115度21分73秒；夏至时，相差67度41分13秒。
冬至时的白天时间，加上夏至时的夜晚时间，总共是3815分92秒；夏至时的白天时间，加上冬至时的夜晚时间，总共是6184分8秒。
从黄昏到黎明的时间（即昼夜交替的时间）是250分。

计算每天黄道（太阳运行的路径）在赤道（地球赤道平面）上下偏离的度数和分秒：
首先，取所求日期早晨前午夜时刻黄道的累计度数，如果超过半个岁周（即180度），就减去这个值；若结果在90度以下，称为“初限”；若超过90度，就再减去半个岁周，剩下的部分称为“入末限”；然后用累计度数减去这个值，余数乘以该时间段内黄道与赤道间差值，再除以100，得到的结果用来减去或加上赤道内外的度数，即可得出黄道在赤道上下偏离的度数及分秒；若结果在赤道内则减去象限（90度），若在赤道外则加上象限，就是所求的偏离程度及其分秒。

计算每天日出日落时间（即半昼夜时间）及日出日入的晨昏时刻（即从日出到日落的时长）：
把所求日期的“初限”或“末限”数值，从累计度数中减去，余数乘以该时间段的昼夜长短差值，再除以100，得到的数值加到或减去该段的“半昼夜分”上，即可得到所求日期的半昼夜时间（即从日出到中午或从中午到日落的时间）。